Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，在原点的上方．下列结论：
①4a-2b+c=0；②2a-b＜0；③2a-b＞-1；④2a+c＜0；⑤b＞a；
其中正确结论的个数是

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0即可判断①；求出a b c的符号，根据两个根之和为负且-＞-1，即可判断⑤，根据4a-2b+c=0和a+b+c＞0即可判断④，根据-1＜-＜0，求出后即可判断②，根据4a-2b+c=0推出2a-b=-c，根据二次函数与y轴的交点位置即可判断③．
解答：∵二次函数的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0，∴①正确；
∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴两根之积为负，＜0，即c＞0，
-＜0，即a、b同号，b＜0，
两个根之和为负且-＞-1，即a＜b＜0，∴⑤正确；
∵把（-2，0）代入y=ax²+bx+c得：4a-2b+c=0，
∴即2b=4a+c＜0（因为b＜0），
∵当x=1时，a+b+c＞0，
∴2a+2b+2c＞0，
∴6a+3c＞0，
即2a+c＞0，∴④错误；
∵二次函数的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴-1＜-＜0，
∵a＜0，
∴-2a＞-b，
∴0＞2a-b，
即2a-b＜0，∴②正确；
∵把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0，
4a-2b=-c，
2a-b=-c，
∵O＜c＜2，
∴2a-b＞-1，∴③正确；
正确的有4个．
故选C．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．