Question

【题目】已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作，交于点，过点作，分别交，于点，.连接，.设运动时间为，解答下列问题：

(1)当为何值时，点在的平分线上？

(2)设四边形的面积为，求与的函数关系式.

(3)连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)为4秒时，点在的平分线上；(2)S；(3)当秒时，.

【解析】

（1）根据勾股定理求AC，根据证，求出CD、OD的值，根据△BPE∽△BAC得到比例式，用含有t的代数式表示出PE、BE，当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．
（3）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此构建方程即可解决问题．

(1)在中，∵，，，

∴，

∵垂直平分线段，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴∠BPE=∠BCA=90°

又∠B=∠B

∴△BPE∽△BAC

∴

即

∴，，

当点在的平分线上时，

∵，，

∴，

∴，

∴.

∴当为4秒时，点在的平分线上.

(2)如图，连接，.

.

(3)存在.如图，连接.

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得或10(舍)

∴当秒时，.