Question

如图，在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，则B₁C₁的长为________； 若B₂C₂所在四边形是△AB₁C₁的内接正方形，B₃C₃所在四边形是△AB₂C₂的内接正方形，依此类推，则B_nC_n的长为________．

Answer 1

    
分析：过点A作AD⊥BC于点D，交B₁C₁于点E，交B₂C₂于点F，由B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，易证得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，可求得高AD的长，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得B₁C₁的长，同理可求得B₂C₂与B₃C₃的长，观察即可得规律：B_nC_n=3×
解答：解：过点A作AD⊥BC于点D，交B₁C₁于点E，交B₂C₂于点F，
∵B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，
∴S_△ABC=BC•AD=×3AD=3，
∴AD=2．
设B₁C₁=x，则AE=2-x，
∵△AB₁C₁∽△ABC，
∴=，即=，
解得，x=．
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴=，
∵AE=2-=，
∴设B₂C₂=y，则AF=-y，
∴y=，
即B₂C₂==3×，
同理：B₃C₃=3×；
∴B_nC_n=3×；
故答案是：；3×．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．