题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？
【答案】
（1）0,3,1,4
（2）解：∵在三角形中两边之差小于第三边，
∴延长DC交x轴于点P，
设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得 
，解得 
，
∴直线DC的解析式为y=x+3，
将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，
如图1，点P（﹣3，0）即为所求；
（3）解：过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，
由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，
可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，
在y=﹣2x+6中，当y=3时，x= 
，
∴E点坐标为（ ，3），
设直线P′C′与直线BC交于点M，
∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），
∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，
联立 
，解得 
，
∴点M坐标为（ 
， 
），
∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），
∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，
分两种情况讨论：
①当0＜t＜ 时，如图2，B′C′与BD交于点N，
联立 
，解得 
，
∴N点坐标为（3﹣t，2t），
S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′= 
×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ 
t2+3t，
其对称轴为t= 
，可知当0＜t＜ 时，S随t的增大而增大，当t= 时，有最大值 
；
②当 ≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，
联立 
，解得 
，
∴N点坐标为（ 
， 
），
S=S△BNP′﹣S△BMP′= （6﹣t）× ﹣ ×（6﹣t）× = 
（6﹣t）2= t2﹣t+3；
显然当 ＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t= 时，S= 
综上所述，S与t之间的关系式为S= 
，且当t= 时，S有最大值，最大值为 ．
【解析】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴C（0，3），D（1，4），
所以答案是：0；3；1；4；
