Question

【题目】已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC．

（1）求直线AC的解析式；

（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过P作PD⊥AB，交AC于点E，点F是线段AC上一动点，连接DF．当△PAC的面积最大时，求DF+AF的最小值；

（3）如图2，将△OBC绕着点O顺时针旋转60°得△OB′C′，点G是AC中点，点H为直线OC′上一动点，当△GHB′为等腰三角形时，直接写出对应的点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线AC的解析式为y＝x+2；（2）最小值；（3）点H的坐标为（﹣2，﹣）或（，）或（，）或（3，）或（-3，-）．

【解析】

（1）由﹣x2﹣x+2=0，分别求出A（﹣6，0），B（2，0），再令x＝0，求出C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A,C的坐标代入即可.

（2）设点P（t，﹣t2﹣t+2），则E（t，），D（t，0），得出PE，再利用三角形面积公式计算出三角形PAC，得到△PAC的面积最大，再利用勾股定理求出AE, 作点D关于直线AC的对称点D′ ，过点F作FH⊥x轴，垂足为点H，过点D′作D′K⊥x轴，垂足为点K，连接D′F，得到，即可解答.

（3）先根据题意求出，再判定出AC∥OC′，得到直线OC′的解析式为y＝，设H（m，），根据旋转的性质得到，当△GHB′为等腰三角形时，

再分三种情况进行讨论，即可解答.

（1）由﹣x2﹣x+2=0得x1＝﹣6，x2＝2，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣6，0），B（2，0），

令x＝0，则y＝2，

∴C（0，2），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

则有，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝；

（2）设点P（t，﹣t2﹣t+2），则E（t，），D（t，0），

∴PE＝﹣t2﹣t+2-()＝﹣t2﹣t，

∴，

∴当t＝﹣3时，△PAC的面积最大，此时P（﹣3，），E（﹣3，），D（﹣3，0），

∴AD＝﹣3﹣（﹣6）＝3，ED＝，

在Rt△ADE中，AE＝，

∴ED＝，

∴∠EAD＝30°，

如图，作点D关于直线AC的对称点D′ ，过点F作FH⊥x轴，

垂足为点H，过点D′作D′K⊥x轴，垂足为点K，连接D′F，

在Rt△AFH中，FH＝，

∴ ，

当D′，F，H三点共线且与D′K重合时，D′F+FH取得最小值．

（3）∵A（﹣6，0），C（0，2），点G是AC中点，

∴ ，∠AOC＝60°，

由题意得∠COC′＝60°，

∴AC∥OC′，

∴直线OC′的解析式为y＝，

设H（m，），

∵∠BOB′＝60°，B（2，0），

∴ ，

当△GHB′为等腰三角形时，

①若GH＝GB′， ，

整理得：m2+3m﹣12＝0，

解得：m＝，

∴H1；

②若HB′＝GH，，

解得m＝﹣2，

∴ ，

③若HB′＝GB′， ，

整理得m2＝18，

解得m=±3，

∴H4（3，），H5（-3，-），

综合以上可得点H的坐标为（﹣2，﹣）或（，）或（，）或（3，）或（-3，-）．