Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC=CD；
（2）如果OD=1，tan∠OCA=

5

2

，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）由直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，易得∠ADC=∠DAC，根据等角对等边，可得AC=CD；
（2）由tan∠OCA=

5

2

，可得

OA

AC

=

5

2

，则可设AC=2x，则AO=

5

x，由勾股定理，求得OC=3x，继而可表示出AC=CD=2x，可得OC=2x+1，即可得方程3x=2x+1，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵直线AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
即∠OAB+∠DAC=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠B+∠ODB=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠OCA=

5

2

，
∴

OA

AC

=

5

2

，
∴设AC=2x，则AO=

5

x，
由勾股定理得：OC=3x，
∵AC=CD，
∴AC=CD=2x，
∵OD=1，
∴OC=2x+1，
∴2x+1=3x，
解得：x=1，
∴AC=2．

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．