Question

【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P
（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）
①求抛物线的解析式；
②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，﹣2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围．
（2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问 是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）在抛物线上，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4；

②如图1，连接DB、OP，设P（x，x2﹣4），

∵A（﹣2，0），对称轴为y轴，

∴B（2，0），

∴S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD= OD|x|+ OB|x2﹣4|﹣ ODOB=x+4﹣x2﹣2=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵点P在第四象限运动，

∴0＜x＜2，

∴当x= 时，S△BDP有最大值 ，当x=2时，S△BDP有最小值0，

∴0＜S△BDP≤ ，

∵四边形BDQC为平行四边形，

∴S四边形BDQP=2S△BDP，

∴0＜S四边形BDQP≤ ；

（2）

解：如图2，过点P作PG⊥AB，设A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），

∵PG∥y轴，

∴△AOE∽△AGP，△BGP∽△BOF，

∴ = ， = ，

∴ = ， = ，

∴ + = + = = ，

当y=0时，可得ax2+c=0，

∴x1+x2=0，x1x2= ，

∴ + = = = ，

∴OE+OF=2c，

∴ = =2，

∴ = = = =1，

∴ 的值与a，c无关，比值为1．

【解析】（1）①由A、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；②连接BD、OP，设出P点坐标，利用S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD可用x表示出四边形BDQP的面积，借助x的取值范围，可求得四边形BDQP面积的取值范围；（2）过点P作PG⊥AB，设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性质和一元二次方程根与系数的关系可整理得到 =2，再利用三角形的面积可得 的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)．