Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．

（1）求证：∠CDE＝ ∠BAC；

（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）14．

【解析】

（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；

（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．

（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，

∴∠ADC＝90°，-

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，

∵DE是⊙O的切线；

∴OD⊥DE

∴∠ODE＝90°

∴∠ADC＝∠ODE

∴∠CDE＝∠ADO

∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∴∠CDE＝∠CAD，

∠CAD＝∠BAC，

∴∠CDE＝∠BAC．

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵AB＝3BD，

∴AC＝3DC，

设DC＝x，则AC＝3x，

∴AD＝

∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，

∴△CDE∽△DAE，

∴，

即

∴DE＝，x＝，

∴AC＝3x＝28，

∴⊙O的半径为14．