Question

如图，长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y）轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F，且知OA=1，AB=2．
（1）分别求出OF的长度和点A′坐标；
（2）设过点B的双曲线为y=

k

x

（x＞0），则k=

2

；
（3）如果D为反比例函数在第一象限图象上的点，且D点的横坐标为2，在x轴上求一点P，使PB+PD最小．

Answer 1

分析：（1）由折叠的性质可得∠OBA=∠OBA′，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，继而得出∠COB=∠OBA′，故FB=FO，设FB=FO=x，则A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根据勾股定理可得出OF，A′F的长，过点A′作A′E垂直x轴于点E，易得△OA'E∽△OBA，利用对应边成比例，可得出A'E、OE，继而得出点A'的坐标．
（2）将点B的坐标代入y=

k

x

（x＞0），可得出k的值；
（3）先求出点D的坐标，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'B，则D'B与x轴的交点即是点P的位置，求出D'B的长度，即可得出答案．

解答：解：（1）由折叠的性质得：∠OBA=∠OBA′，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠OBA'=∠COB，
∴OF=BF，
设FB=FO=x，则A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，A′O²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，
解得：x=

5

4

，
故OF=

5

4

；
过点A′作A′E垂直x轴于点E，如图①所示：

易得△OA'E∽△OBA，
∴

OE

OA

=

A′E

AB

=

OA′

OB

=

1

5

，
∴OE=

5

5

，A′E=

2 5

5

，
故点A′的坐标为（-

5

5

，

2 5

5

）．
（2）∵OA=1，AB=2，
∴点B的坐标为（1，2），
将点B（1，2）代入y=

k

x

（x＞0），可得：k=2．
（3）点D的横坐标为x=2，代入y=

2

x

，可得y=1，
故点D的坐标为（2，1），
作点D关于x轴的对称点D'，连接D'B，则D'B与x轴的交点即是点P的位置，如图②所示：

点D'（2，-1），
设直线BD'的解析式为：y=kx+b，
则

2k+b=-1 k+b=2

，
解得：

k=-3 b=5

，
∴直线BD'的解析式为：y=-3x+5，
令y=0，可得x=

5

3

，
故点P的位置为（

5

3

，0），此时PB+PD最小，最小值=BD'=

(2-1)2+(-1-1)2

=

5

．
即PB+PD的最小值为

5

．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了翻折变换、待定系数法求反比例函数解析式及轴对称求最短路径的知识，解答本题要求同学们具有扎实的基本功，注意数形结合思想的运用．