Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②ac＜0；③4a+2b+c＜0；④-2＜-

b

2a

＜0．其中正确结论的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：先根据题意画出大致图象，由函数y=ax²+bx+c的图象过点（-2，0），即x=-2时，y=0，得到4a-2b+c=0；由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则ac＜0；观察图象得到当x=2时，y＜0，即有4a+2b+c＜0；由于二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，利用抛物线的对称性得到-1＜-

b

2a

＜0．

解答：解：如图，
∵函数y=ax²+bx+c的图象过点（-2，0），即x=-2时，y=0，
∴4a-2b+c=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以②正确；
当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴-1＜-

b

2a

＜0，所以④不正确．
故答案为①②③．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＞0，抛物线的开口向上，在对称轴x=-

b

2a

的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴x=-

b

2a

的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，抛物线的开口向下，当x=-

b

2a

时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．