Question

已知：PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长．

Answer 1

解：过A点作AE⊥PB于E，如图，
∵∠APB=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE=AE=PA=×=1，
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=4-1=3，
在Rt△AEB中，AB===；
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF=45°，PF=AP=×=2，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，
在Rt△FBP中，PB=4，PF=2，
∴FB===2，
∴PD=2，
所以AB和PD的长分别为、2．
分析：过A点作AE⊥PB于E，由∠APB=45°得△APE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质有PE=AE=PA=×=1，则BE=3，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理可计算出AB=；由于AD=AB，∠DAB=90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF=45°，PF=AP=×=2，即有∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．