题目内容
如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
解答：解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），
（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）
则
=
，即
=
，（3分）
解得t=3；（5分）
（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）
则
=
，即
=
，（8分）
解得t=4.8；（10分）
故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），
（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）
则
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| t |
| 6 |
| 12-2t |
| 12 |
解得t=3；（5分）
（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）
则
| AM |
| AC |
| AN |
| AB |
| t |
| 12 |
| 12-2t |
| 6 |
解得t=4.8；（10分）
故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）
点评：此题考查了平行线的性质与判定．此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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