Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，点D是斜边AC上的中点，过点D作斜边AC的垂线，交CB的延长线于点E，将DE绕点D按逆时针方向旋转60°后得到线段DF，连接AF、EF．
（1）求∠CED的度数；
（2）证明：四边形ABEF是矩形．

Answer 1

分析：（1）求出∠C=60°，根据三角形内角和定理求出即可．
（2）证△ABC≌△EDC，推出AB=DE=DF，求出△DFE是等边三角形，求出AB=EF，∠DEF=60°，求出AB∥EF，即可推出答案．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°，
∴在△CDE中，∠CED=180°-∠C-∠CDE=30°．

（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC，
∵D为AC中点，
∴CD=

1

2

AC，
∴CD=BC，
在△ABC和△EDC中

∠C=∠C CB=CD ∠ABC=∠EDC

∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵DF是由线段ED绕点D逆时针旋转60°得到，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴ED=EF，∠DEF=60°，
∴AB=EF，∠CEF=90°，
∴AB∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵∠CEF=90°，
∴平行四边形ABEF是矩形．

点评：本题考查了三角形内角和定理，矩形的判定，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．