Question

【题目】如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求a，b的值；
（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR//MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵y=﹣x+4与x轴交于点A，

∴A（4，0），

∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，

∴B（1，3），

∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），

∴ ，解得： ，

∴a=﹣1，b=4；

（2）

解：方法一：

如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，

∵B（1，3），A（4，0），

∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，

∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC，

∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠PFM=∠ECM=90°，

∴PF//EC，

∴∠MPF=∠MEC，

∵ME//OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠MPF，

∴ = =3，

∴MF=3PF=3t，

∵MN=MF+FN，

∴d=3t+t=4t；

方法二：

延长MP交x轴于点M′，作M′N′//MN交AB于N′，

延长FP交M′N′于F′，∵M′N′//MN，∴△PMN∽△PM′N′，

∴ ，∵O（0，0），B（1，3），

∴KOB=3，

∵PM//OB，

∴KPM=KOB=3，则lPM：y=3x+b，设P（p，﹣p+4），则b=4﹣4p，

∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x= ，

∴M′（ ，0），

∵N′x=M′x，把x= 代入y=﹣x+4，

∴y= ，

∴N′（ ， ），∴M′N′= ，

∵PF′⊥M′N′，

∴PF′=p﹣ = ，

∴ ．

（3）

解：方法一：

如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S△PMN= MN×PF= ×4t×t=2t2，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S△ACN= AC2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ AC2=2t2，

∴AC=2t，

∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，

将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：

﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，

解得：t1=0（舍），t2= ，

∴PF=NF= ，AC=CN=1，OC=3，MF= ，PN= ，PM= ，AN= ，

∵AB=3 ，

∴BN=2 ，

作NH⊥RQ于点H，

∵QR//MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，

∴∠MNH=∠NCO，

∴NH//OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴ = = ，

设RH=n，则HN=3n，

∴RN= n，QN=3 n，

∴PQ=QN﹣PN=3 n﹣ ，

∵ON= = ，

OB= = ，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM//OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴ = ，

∴ = ，

解得：n= ，

∴R的横坐标为：3﹣ = ，R的纵坐标为：1﹣ = ，

∴R（ ， ）．

方法二：设M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），

∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，

∴PF= （﹣t2+5t﹣4），

∴S△PMN= （﹣t2+5t﹣4）2= （t﹣4）2（t﹣1）2，

∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，

∴CA=CN=4﹣t，

∴S△ACN= （t﹣4）2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ （t﹣4）2（t﹣1）2= （t﹣4）2，

∴t1=﹣1，（舍），t2=3，

∴M（3，3），

∵MX=NX=3，

∴N（3，1），

∴ON= ，

∵B（1，3），

∴OB= ，

∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，

∵OB//MP

∴∠OBN=∠QPM，

∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△BRN∽△MQP，

∴ ，

∵KPM=3，M（3，3），

∴lPM：y=3x﹣6，

∵lAB：y=﹣x+4，

∴P（2.5，1.5），

设R（3t，t），

∴Q（3t，﹣3t+4），

∴ ，

∴t1= ，t2= （舍），

∴R（ ， ）．

【解析】（1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；（2）已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得 = =3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；（3）过点N作NH⊥QR于点H，由图象可知R点横坐标为OC﹣HN，纵坐标为CN﹣RH．OC=OA﹣AC，其中OA已知，利用S△ACN=S△PMN求得AC=2t，再将用t表示的M点坐标代入抛物线解析式求得t值，即得AC的值，又由（2）中AC=CN，可知CN，则求得HN和RH的值是关键．根据tan∠HNR=tan∠NOC，可得 = = ，设RH=n，HN=3n，勾股定理得出RN的值，再利用已知条件证得△PMQ∽△NBR，建立比例式求得n值，即可得出HN和RH的值，从而得到R的坐标．