Question

如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，点E沿A→D方向移动，点F沿D→A方向移动，速度都是1cm/s．如果E、F两点同时移动，且当E、F两点相遇即停止．设移动时间是t（s）．
（1）当BE与CF所在直线的夹角是60°时，t是多少？
（2）当四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°时，t是多少？
（3）当△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切时，t是多少？

Answer 1

解：（1）当BE与CF所在直线的夹角是60°，如图1，
∵速度都是1cm/s．
∴BE=CF，
∴GE=GF，
∴∠AEB=∠GEF=∠EGF=∠GFE=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE=AB÷tan∠AEB=2=，
∴当t=时，BE与CF所在直线的夹角是60°；

（2）如图2，四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°时，
∵BE=CF，
∴∠EBC=∠FCB
∴△EBC≌△FCB
∴∠BEC=∠CFB
∴△BEG∽△CFG
∴CG=BG，
∵∠BGC=90°，
∴∠FBC=∠ABF=45°，
∴AF=AB=2，DF=1
∵移动速度速度为1cm/s，
∴当t=1时，四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°．

（3）如图3，当△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴两圆的直径分别为AE和CF，
∴BE=CF=，
∵AE=DF=t，
∴EF=3-2t，
∴MN=（3-2t+3）÷2=3-t，
∴=3-t，
解得：t=，
∴当t=时，△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切．
分析：（1）利用等边三角形的性质可以得到∠AEB=60°，再利用解直角三角形的知识表示出AE的长即可；
（2）利用矩形的性质两个动点运动速度相同可以得到∠FBC=∠ECB=45°，从而得到AF=DE=AB；
（3）当两圆向外切时，两圆的圆心距等于EF与BC和的一半．
点评：本题考查了相切两圆的性质、全等三角形的性质及判定、勾股定理及矩形、等腰梯形的性质，解决动点问题的关键是化动为静．