Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（5分）

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；（5分）

（2）直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．（4分）

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

AP＝1，CD＝AB＝2，则PB＝．

∴∠ABP＋∠APB＝90°

又∵∠BPC＝90°

∴∠APB＋∠DPC＝90°

∴∠ABP＝∠DPC

∴△APB∽△DCP

∴ ＝  即  ＝

∴PC＝2

（2）tan∠PEF的值不变

理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，

则四边形ABFG是矩形

∴∠A＝∠PFG＝90°，GF＝AB＝2

∴∠AEP＋∠APE＝90°

又∵∠EPF＝90°

∴∠APE＋∠GPF＝90°

∴∠AEP＝∠GPF

∴△APE∽△GPF

∴ ＝ ＝ ＝2

∴Rt△EPF中，tan∠PEF＝＝2

∴tan∠PEF的值不变

（3）线段EF的中点经过的路线长为