Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），且m≠0，

∴当y=0时，可得m（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）

解：设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

则有 ，解得 ，

∴抛物线C1解析式为y= x2﹣x﹣ ，

如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

设直线BC解析式为y=kx+s，则有 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，

设P（x， x2﹣x﹣ ），则Q（x， x﹣ ），

∴PQ= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，

∴S△PBC= PQOB= ×（﹣ x2+ x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当x= 时，S△PBC有最大值，S最大= ，

×（ ）2﹣ ﹣ =﹣ ，此时P点坐标为（ ，﹣ ）．

【解析】（1）把抛物线解析整理，令y=0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；（2）由A、B、C的坐标，可求得经过点A、B、C的抛物线解析式，连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．