Question

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l₁的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定D（0，4），l₂上的点P与l₁上的P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D、O、P、P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设l₂上的点M、N分别与l₁上的点M′、N′始终关于x轴对称．是否存在点M、N（M在N的左侧），使四边形MNN´M´是正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出C′点坐标，将A、B两点坐标代入y=a（x-3）²-4即可求得抛物线l₂的函数关系式；
（2）由题意可知PP′与y轴平行，令2|m²-6m+5|=4解方程，求得m的值，便可求出满足题意得P点坐标；
（3）由题意可知点M、N关于直线x=3对称，正方形MNN′M′的边长为2|y|，解方程求出y即可求出相应的点M的坐标．
解答：解：（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．（1分）
又因为点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．（2分）

（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±．
∴当点P运动到（3-，2）或（3+，2）或到（3-，-2）或（3+，-2）时，PP′∥OD且PP′=OD，
以点为D、O、P、P′顶点的四边形是平行四边形．（6分）

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x=3对称．
设M（x，y），则正方形MNN′M′的边长为2|y|．
∵点M在l₂上，
∴y=（3-|y|-3）²-4，
解得y=．
∴x=3-|y|=或
∴点M的坐标为（，）或（，）．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和平行四边形和正方形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．