Question

如下图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)．

(1)求x为何值时，PQ⊥AC；

(2)设△PQD的面积为y(cm²)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

(4)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系．请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC． 　　当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x， 　　∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝60°， 　　若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，∴PC＝2CQ 　　∴4－x＝2×2x，∴x＝， 　　∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC； 　　(2)当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H， 　　∵∠C＝60°，QC＝2x，∴QH＝QC×sin60°＝x 　　∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2 　　∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－ 　　(3)当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝60°， 　　∴HC＝x，∴BP＝HC 　　∵BD＝CD，∴DP＝DH， 　　∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH， 　　∴OP＝OQ 　　∴S△PDO＝S△DQO， 　　∴AD平分△PQD的面积； 　　(4)显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离 　　当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切． 　　当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．