Question

【题目】在等边中，点，分别在边，上．

（1）如图，若，以为边作等边，交于点，连接．

求证：①；

②平分．

（2）如图，若，作，交的延长线于点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析

【解析】

（1）①利用SAS即可证出△ABF≌△CAE，再根据全等三角形的性质即可证出结论；

②过点D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延长线于N，利用AAS证出△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN，然后根据角平分线的判定定理即可证出结论；

（2）在CB上截取一点G，使CF=FG，连接AG，利用SAS证出△EAC≌△GCA，可得CE=AG，∠AEC=∠CGA，然后利用ASA证出△AGF≌△PCF，可得AG=CP，从而证出结论．

解：（1）①△ABC为等边三角形

∴AB=CA，∠B=∠CAE=∠BAC=60°

在△ABF和△CAE中

∴△ABF≌△CAE

∴

②过点D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延长线于N

∵△ABF≌△CAE

∴∠BAF=∠ACE

∴∠AOC=180°－∠ACE－∠OAC=180°－∠BAF－∠OAC=180°－∠BAC=120°

∴∠MDN=360°－∠AOC－∠DMO－∠DNO=60°

∵△ACD为等边三角形

∴DA=DC，∠ADC=60°

∴∠ADC=∠MDN

∴∠ADC－∠MDC=∠MDN－∠MDC

∴∠ADM=∠CDN

在△ADM和△CDN中

∴△ADM≌△CDN

∴DM=DN

∴平分

（2）在CB上截取一点G，使CF=FG，连接AG

∵AE=2CF，CG=CF＋FG=2CF

∴AE=CG

∵△ABC为等边三角形

∴∠EAC=∠GCA=60°

在△EAC和△GCA中

∴△EAC≌△GCA

∴CE=AG，∠AEC=∠CGA

∵∠AEC=∠BCP

∴∠CGA=∠BCP，即∠AGF=∠PCF

在△AGF和△PCF中

∴△AGF≌△PCF

∴AG=CP

∴CE=CP