Question

如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．

Answer 1

考点：

菱形的判定．

专题：

证明题．

分析：

求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．

解答：

证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAF=∠HAF，

在△CAF和△HAF中

∴△CAF≌△HAF（SAS），

∴∠ACD=∠AHF，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠CDA=∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B=∠AHF，

∴FH∥CE，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴CF∥EH，

∴四边形CFHE是平行四边形，

∵CE=EH，

∴四边形CFHE是菱形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．