Question

已知抛物线上有不同的两点E和F．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）如图，抛物线与x轴的正半轴和y轴分别交于点A和点B，M为AB的中点，∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．∠PMQ在AB的左侧以M为中心旋转，设AD 的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

　　

 

Answer 1

解：（1）点E和F关于抛物线对称轴对称

           ∴对称轴

           又∵

            ∴

∴　抛物线的解析式为　　　　　　　 

（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）
∴　AB＝，AM＝BM＝,∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°　　　　　　　　　　　

∵∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，  ∴∠BMC＋∠BCM＝135°
∵∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，  ∴∠BMC＋∠AMD＝135°
∴∠BCM＝∠AMD

∴△BCM∽△AMD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  
∴　，即　，
∴n与m之间的函数关系式为（m＞0）　　　　　　　   
（3）∵　点F在上
　　 ∴　

∴F（－4，－8）                                 分
     MF过M（2，2）和F（－4，－8），

　　  ∴　直线MF的解析式为
　　∴直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）
　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝
　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝　　  
　 ∴当　或时，∠PMQ的边过点F