题目内容

已知在直角坐标平面内有双曲线 $数学公式$ ，另有△ABC，其中点A、B、C的坐标分别是A（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），B（ $数学公式$ ，0），C（0， $数学公式$ ）．
（1）如果将△ABC沿x轴翻折后得到对应的△A₁B₁C₁ （其中点A、B、C的对应点分别是点A₁、B₁、C₁），问：△A₁B₁C₁的三个顶点中，有无在双曲线 $数学公式$ 上的点？若有，写出这个点的坐标．
（2）如果将△ABC沿x轴正方向平移a个单位后，使△ABC的一个顶点落在双曲线 $数学公式$ 上，请直接写出a的值．
（3）如果△ABC关于原点O的对称的三角形△A₂B₂C₂（其中点A、B、C的对应点分别是点A₂、B₂、C₂），请写出经过点A、A₂的直线所表示的函数解析式．

解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点，可得A₁的坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），B₁的坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，0），A₁的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），
将三点代入双曲线y= $\text{[math]}$ ，只有点A₁，符合解析式，此时左边=- $\text{[math]}$ ，右边= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，左边=右边．
故有在双曲线上的点，这个点是A₁，它的坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；

（2）①平移后点A的对应点在双曲线上，此时点A的对应点的坐标为（-2 $\text{[math]}$ +a， $\text{[math]}$ ），
代入解析式得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：a=4 $\text{[math]}$ ；
②平移后点C的对应点在双曲线上，此时点A的对应点的坐标为（a， $\text{[math]}$ ），
代入解析式得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：a=2 $\text{[math]}$ ；
综上可得a=2 $\text{[math]}$ 或a=4 $\text{[math]}$ ；

（3）点A（-2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）关于原点对称的点A₂的坐标为（2 $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
设过点A、A2的直线解析式为y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线AA₂的解析式是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）分别将A、B、C三点关于x轴对应点的坐标代入双曲线解析式，看能否满足解析式，能满足解析式的点，则该点在双曲线上；
（2）因为双曲线与x轴没交点，所以移动后只可能是A或C的对应点在双曲线上，分别讨论即可得出答案；
（3）根据关于原点对称的点的坐标的特点，求出点A₂的坐标，然后运用待定系数法求解析式即可．
点评：本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、关于原点对称的点的坐标、函数图象上点的坐标特征，综合性较强，但难度一般，解答本题的关键是将所学知识融会贯通．