Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，
【小题1】求过点的直线的函数表达式
【小题2】在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；
【小题3】在⑵的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由 0=k×(-3)+b ，
3=k+b
解得k= ，b= ，
∴直线AB的函数表达式为y= x+
【小题2】如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）；
【小题3】这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则，
解得m= ，
如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则
解得m= ．

解析