Question

如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD⊥AB，垂足为点D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于点E，BE交AC于点M．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB=6，cos∠BCD=，求AM的长．

Answer 1

（1）证明：
连接OC交BE于N，
∵CF⊥AF，CD⊥AB，CF=CD，
∴∠FAC=∠DAC，
∴弧EC=弧BC，
∴OC⊥BE，
∵AB是直径，
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°，
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°，
即OC⊥CF，
∵OC为半径，
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，∠BCD+∠CBA=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∵AB=6，cos∠BCD=，
∴cos∠CAB==，
∴AC=5，
由勾股定理得：BC==，
∵弧CE=弧BC，
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB，
即∠CBM=∠CAB，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CBM，
∴=，
∵BC=，AC=5，
∴CM=，
∴AM=AC-CM=5-=．
分析：（1）连接O根据角平分线性质得出∠FAC=∠BAC，根据垂径定理得出OC⊥BE，求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°，求出∠OCF=90°，根据切线判定推出即可．
（2）求出AC和BC，证△BCM和△CAB相似，得出比例式，求出CM，即可得出答案．
点评：本题考查了切线的判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强．