Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2

3

，E是AC上的一点（AE＞CE），且DE=BE，则AE的长为

5

2

．

Answer 1

分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，过点D作DF⊥AC于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF=CF=

1

2

AC，设CE=x，表示出EF，然后分别用勾股定理表示出DE²、BE²，再列出方程求解即可．

解答：解：∵AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
根据勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
过点D作DF⊥AC于F，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴DF=CF=

1

2

AC=

3

2

，
设CE=x，则EF=

3

2

-x，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（

3

2

）²+（

3

2

-x）²，
在Rt△BCE中，BE²=BC²+CE²=（

3

）²+x²，
∵DE=BE，
∴（

3

2

）²+（

3

2

-x）²=（

3

）²+x²，
解得x=

1

2

，
所以，AE=AC-CE=3-

1

2

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用勾股定理表示出DE、BE然后列出方程是解题的关键．