Question

6．已知AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点E
（1）证明：△CDE为等腰三角形；
（2）若AD=2，$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用等角的余角相等证明∠E=∠EDC即可．
（2）作OF⊥AE于F，连接BD，设BC=a，则EC=CD=2a，由CD²=CB•CA，得CA=4a，AB=3a，由△AFO∽△ACE求出OF，在RT△AFO中求出AO即可．

解答 （1）证明：如图，连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠EDC+∠ADO=90°，
∵∠ACB=90°，∠A+∠E=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠E=∠EDC，
∴CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形．
（2）作OF⊥AE于F，连接BD，设BC=a，则EC=CD=2a，
∵AD=2，OF⊥AD，
∴AF=DF=1，
∵CD²=CB•CA，
∴4a²=a•AC，
∴AC=4a，AB=3a，
∵∠A=∠A，∠AFO=∠ACE，
∴△AFO∽△ACE，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{OF}{EC}$，
∴$\frac{1}{4a}=\frac{OF}{2a}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$，
∴AO=$\sqrt{A{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
⊙O的面积为$\frac{5π}{4}$．

点评 本题考查切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是切线性质的应用，记住圆中常用辅助线（弦心距），学会转化的思想，在解题时设未知数是常用的手段，属于中考常考题型．