Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为线段BC上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EC.

（1）①依题意补全图1；

②求证：∠EDC＝∠BAD;

（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，线段CE与BD的数量关系始终不变，用等式表示为　 　；

②小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，只需证△ADB≌△DEF．

想法2：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，只需证△ADF≌△DEC．

想法3：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，只需证四边形DFCE为平行四边形．

……

请你参考上面的想法，帮助小方证明(2)①中的猜想．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）①见解析②见解析（2）①猜想：CE＝BD②见解析

【解析】

（1）①依题意补全图形即可；②由角的关系即可得出结论；
（2）①由全等三角形和勾股定理可猜想CE=BD；
②想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，证明△ADB≌△DEF，得出AB=DF，BD=EF，证出CF=BD=EF，得出△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
想法2：在线段AB上取一点F，使得BF=BD，连接DF，证出AF=DC，证明△ADF≌△DEC，得出CE=DF=BD即可；
想法3：延长AB到F，使得BF=BD，连接DF，CF，证明△ABD≌△CBF，得出AD=CF，∠BAD=∠BCF，再证明四边形DFCE为平行四边形，即可得出结论．

（1）①补全的图形如图1所示；

②∵∠ADE＝∠B＝90°，∴∠EDC+∠ADB＝∠BAD+∠ADB＝90°，

∴∠EDC＝∠BAD；

（2）①猜想：CE＝BD；

故答案为：CE＝BD；

②想法1：

证明：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，如图2所示：

∴∠F＝90°，∴∠B＝∠F，

在△ADB和△DEF中，，

∴△ADB≌△DEF（AAS），∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC+CF＝BD+DC，

∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝CF＝BD；

想法2：

证明：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，如图3所示：

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴DF＝BD，

∵AB＝BC，BF＝BD，

∴AB﹣BF＝BC﹣BD，

即AF＝DC，

在△ADF和△DEC中，

，

∴△ADF≌△DEC（SAS），

∴CE＝DF＝BD；

想法3：

证明：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，如图4所示：

∵∠B＝90°，∴DF＝BD，

在Rt△ABD和Rt△CBF中，

，

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF，

∵AD＝DE，∴DE＝CF．

∵∠EDC＝∠BAD，∴∠EDC＝∠BCF，

∴DE∥CF，

∴四边形DFCE为平行四边形，

∴CE＝DF＝BD．