Question

已知关于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x₁、x₂且满足

1

x1

+

1

x2

=-

1

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．
（2）因为

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

1

2

，所以由根与系数的关系可得

-4m-1

2m-1

=-

1

2

，解方程可得m的值．

解答：解：（1）证明：△=（4m+1）²-4（2m-1）
=16m²+8m+1-8m+4=16m²+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵

1

x1

+

1

x2

=-

1

2

，即

x1+x2

x1x2

=-

1

2

，
∴由根与系数的关系可得

-4m-1

2m-1

=-

1

2

，
解得  m=-

1

2

，
经检验得出m=-

1

2

是原方程的根，
即m的值为-

1

2

．

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．