Question

如图，已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB＞∠B），EF⊥AD于P，交BC延长线于M，
（1）如果∠ACB=90°，求证：∠M=∠1；
（2）求证：∠M=（∠ACB-∠B）．

Answer 1

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵EF⊥AD于P，
∴∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∵∠AFP=∠CFM，
∴∠CFM=∠AEP，
∵∠ACB=90°，
∴∠M+∠CFM=90°，
∴∠M+∠AEP=90°，
∴∠M=∠1；

（2）证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，
又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，
∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，即∠M=（∠ACB-∠B）．
分析：（1）先根据AD是△ABC的角平分线得出∠1=∠2，再由EF⊥AD于P得出∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF，故∠AEP=∠AFP，再根据∠AFP=∠CFM可得出∠CFM=∠AEP，再由∠ACB=90°可∠M+∠CFM=90°，通过等量代换即可得出结论；
（2）首先由三角形的内角和定理证出∠AEF=∠AFE=∠CFM，由三角形的外角性质得到∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，代入即可得出答案．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，综合运用性质进行推理是解此题的关键．