Question

如图，矩形ABCD的边满足

AB

AD

=

2

3

，BE平分∠ABC交AD于E，EF⊥CE交AB于F，连接CF交BE于O，下列结论：①tan∠AEF=

1

2

；　②EC平分∠BED；③

BF

CE

=

OF

OE

；④

BO

OE

=

3

5

．其中正确的结论个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①由EF⊥CE，可以得出∠CEF=90°，可以得出∠1+∠2=90°，∵四边形ABCD是矩形可以得出∠A=∠D=∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，进而得出∠2+∠3=90°，由BE平分∠ABC得出∠4=∠5=45°，可以得出AB=AE，可以证明△FAE≌△EDC，AE=CD，DE=AF，就可以求出tan∠AEF=

1

2

，得出结论．
②通过设参数可以计算出BE不等于BC，从而得到∠BEC≠∠BCE，进而得出∠BEC≠∠2，故可以得出结论．
③通过证明△FOE∽△BFE利用相似三角形的对应边成比例就可以得出结论；
④通过③的三角形相似和所设的参数就可以表示出BO、OE的长度，从而求出结论．

解答：解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC
∴∠AEB=∠5，∠2=∠ECB，
∵

AB

AD

=

2

3

，设AB=2x，AD=3x
∴CD=2x，BC=3X，
∵BE平分∠ABC，
∴∠4=∠5=45°，
∴∠AEB=45°，
∴∠4=∠AEB
∴AB=AE=2x，
∴ED=x，AE=CD=2x
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴tan∠AEF=tan∠3=

ED

CD

=

x

2x

=

1

2

，故本答案正确；
②在Rt△ABE中由勾股定理，得
BE=2

2

x，且BC=3x，
∴BE≠BC，
∴∠BEC≠∠BCE，
∵∠2=∠ECB
∴∠2≠∠BEC，
∴EC不平分∠BED，故本答案错误；
③在△FAE和△EDC中，∠A=∠D，AE=CD，∠1=∠3，
∴△FAE≌△EDC
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF=45°
∴∠EFC=∠4，
∴△FOE∽△BFE
∴

BE

EF

=

EF

OE

=

BF

OF

∴

OF

OE

=

BF

EF

∵

BF

CE

=

OF

OE

，故本答案正确；
④∵在Rt△AFE中，由勾股定理得：EF=

5

x
在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE=2

2

x，
∵

BE

EF

=

EF

OE

，
∴

2 2 x

5 x

=

5 x

OE

，
解得：OE=

5 2

4

x
∴BO=

3 2 x

4

，
∴

BO

OE

=

3 2 x 4

5 2 x 4

=

3

5

，故本答案正确．

故正确的结论是：①③④，共3个．
故选C

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质及勾股定理的运用．