Question

（2013•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=

1

2

AP=

1

2

x，再根据勾股定理可计算出OC=

1

2

4-x2

，然后根据三角形面积公式得到y=

1

4

x•

4-x2

（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．

解答：解：作OC⊥AP，如图，则AC=

1

2

AP=

1

2

x，
在Rt△AOC中，OA=1，OC=

OA2-AC2

=

1- 1 4 x2

=

1

2

4-x2

，
所以y=

1

2

OC•AP=

1

4

x•

4-x2

（0≤x≤2），
所以y与x的函数关系的图象为A．
故选A．
补：很显然，并非二次函数，排除B；
采用特殊位置法；
当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S_△PAO=0；
当P点与_B点重合时，此时AP=x=2，S_△PAO=0；
当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S_△PAO=

3

4

_＞

1

4

；
排除B、C、D
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．