Question

二次函数的图象如图所示，点A位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函数位于第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都为等边三角形，则△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=    ．

Answer 1

【答案】分析：分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设AA₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=a，BB₂=b，CB₃=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B₁，B₂，B₃的纵坐标，逐步代入抛物线y=x²中，求a、b、c的值得出规律．
解答：解：分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设AA₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=a，BB₂=b，CB₃=c，
在正△AB₁A₁中，B₁（a，），
代入y=x²中，得 =•（a）²，解得a=1，即AA₁=1，
在正△A₁B₂A₂中，B₂（b，1+），
代入y=x²中，得1+=•（b）²，解得b=2，即A₁A₂=2，
在正△A₂B₃A₃中，B₃（c，3+），
代入y=x²中，得3+=•（c）²，解得c=3，即A₂A₃=3，
由此可得△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=2011．
故答案为：2011．
点评：此题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．