Question

20、某校象棋决赛阶段共有八名选手参赛，赛制实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a₁局，输b₁；二号选手胜a₂局，输b₂局；…，八号选手胜a₈局，输b₈局．试比较a₁²+a₂²+…+a₈²与b₁²+b₂²+…b₈²的大小，并叙述理由．

Answer 1

分析：依题意可知，a₁+b₁=7，a₂+b₂=7，a₃+b₃=7…，故：b₁=7-a₁，b₂=7-a₂，b₃=7-a₃…，用作差法列式，比较大小，运用乘法公式对式子变形，得出结论．

解答：解：依题意可知，a₁+b₁=7，a₂+b₂=7，a₃+b₃=7…，故：b₁=7-a₁，b₂=7-a₂，b₃=7-a₃…，
∴（a₁²+a₂²+…+a₈²）-（b₁²+b₂²+…b₈²）=（a₁²+a₂²+…+a₈²）-[（7-a₁）²+（7-a₂）²+…+（7-a₈）²]=14（a₁+a₂+…+a₈-28）；

故①当（a₁+a₂+…+a₈＞28时，a₁²+a₂²+…+a₈²＞b₁²+b₂²+…b₈²；

②当a₁+a₂+…+a₈=28时，a₁²+a₂²+…+a₈²=b₁²+b₂²+…b₈²；

③当a₁+a₂+…+a₈-＜28时a₁²+a₂²+…+a₈²＜b₁²+b₂²+…b₈²．

点评：本题根据基本等式，运用作差法、换元法，得出关于a的式子，分类讨论．