Question

如图，有一种Flash动画程序，屏幕上圆形区域表示红色小动物X，其中，A（3，3），⊙A的半径为1，用发射枪沿直线y=x+b发射子弹，当子弹遇到圆形区域X时，X就由红变黑．则b的取值范围为

-

2

≤b≤

2

 时，X能由红变黑．

Answer 1

分析：解法（一）：如图所示1，根据题意知，当直线y=x+b与⊙A有公共点时，X就由红变黑．所以，利用⊙A与直线y=x+b相切的性质、点到直线的距离公式来求b的取值范围即可．
解法（二）：如图2所示，过圆心A作AD⊥BD于点D，过点O作OE⊥BD于点E，连接OA．易证四边形ADEO是矩形，AD=OE=1；然后在等腰直角△EOF中，利用勾股定理求得OF的长度．同理，求得OG的长度．

解答：解法（一）：如图所示1，当直线y=x+b与⊙A相切时，且在⊙A的上方时，则过点A作AD⊥l₁于点D，AD=1．
∵A（3，3），x-y+b=0，
∴AD=

|1×3+(-1)×3+b|

11+(-1)2

=1，即

|b|

2

=1，
解得，b=

2

，或b=-

2

（不合题意，舍去）．
同理，当直线y=x+b与⊙A相切时，且在⊙A的下方时，b=-

2

．
则b的取值范围为-

2

≤b≤

2

；
故答案是：-

2

≤b≤

2

．

解法（二）：如图2所示，过圆心A作AD⊥BD于点D，过点O作OE⊥BD于点E，连接OA．
则AD∥OE．
∵直线BD的解析式为y=x+b，
∴当x=0时，y=b．当y=0时，x=-b，
∴OB=OF=|b|，
∴∠OBF=∠OFB=45°．
又∵A（3，3），
∴∠FBO=∠AOC=45°，
∴BD∥OA，
∴四边形ADEO是矩形，
∴AD=OE．
根据题意知，直线BD与⊙A相切，则AD=OE=1．
在等腰Rt△EOF中，OE=1，∠EFO=45°，
∴OF=

2

OE=

2

．
同理求得OG=

2

，
∴b的取值范围是：-

2

≤b≤

2

；
故答案是：-

2

≤b≤

2

．

点评：本题考查了一次函数综合题、切线的性质．解答该题时，解法（一）中，利用了点到直线的距离公式d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．解法（二）中利用了切线的性质、勾股定理等知识．