Question

已知正方形纸片ABCD．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．

小题1:（1）请你找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
小题2:（2）当AB=2，点P位于CD中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG的长．

Answer 1

小题1:解：（1）与相似的三角形是（或△FQG）．   ……… 1分
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．      ………………………………  2分
由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．    ………………………………………………………  3分
∴∽
小题2:（2）正确画出示意图．    …………………………………………  4分
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
设AE=x，则ED=2-x，EP= x．
∵P是CD的中点，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，根据勾股定理，得
x²=（2-x）²+1．
解得x=．
∴ED=．    …………………………………………  5分
∵∽，
∴．
∴．
∴ CG=．   

略