Question

（2002•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，ctgA=

4

3

．
（1）当∠PBC=∠A时，求AP的长．
（2）点O是BP上一点，且⊙O与边AB、AC都相切，设AP=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）在（2）中，⊙O与边BC也相切时，试判断sinA与

OP

AP

的大小，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度，通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度；然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度；
（2）设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式；
（3）根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线；然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ctgA=

4

3

，
∴

AC

BC

=

4

3

．
又∵AB=10，AB²=AC²+BC²，
∴AC=8，BC=6．
∵∠PBC=∠A，∠PCB=∠BCA=90°，
∴△PBC∽△BAC，
∴

PC

BC

=

BC

AC

，即

PC

6

=

6

8

，
∴PC=

9

2

，
∴AP=AC-PC=

7

2

；

（2）如图1，设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．连接AO并延长AO交BC于点H．则AH是∠BAC的平分线．
根据角平分线定理知，

AB

BH

=

AC

CH

，即

10

6-CH

=

8

CH

，
∴CH=

8

3

．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC；
又∵BC⊥AC，
∴OD∥BC．
在△PBC中，

OD

BC

=

PD

PC

，即

y

6

=

PD

8-x

，则PD=

y(8-x)

6

．
在△ACH中，

OD

HC

=

AD

AC

，即

y

8 3

=

PD+x

8

=

y(8-x) 6 +x

8

，则y=

6x

10+x

（0＜x＜8）；

（3）解：sinA＞

OP

AP

．理由如下：
如图2，∵⊙O与边AB、AC、BC都相切，
∴BP是∠CBA的平分线，
∴

BC

CP

=

BA

PA

，即

6

8-AP

=

10

AP

，则AP=5，CP=3．
∴在直角△BCP中，根据勾股定理知BP=3

5

．
∵AP=x，⊙O的半径为y，y=

6x

10+x

，
∴OD=

6×5

10+5

=2．
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴

OP

BP

=

OD

BC

，即

OP

3 5

=

2

6

，则OP=

5

，
∴sinA=

BC

AB

=

6

10

=

3

5

，

OP

AP

=

5

5

，
∴sinA＞

OP

AP

．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域．