Question

如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k=12，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）先由两解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程x²-8x+k=0，根据题意得到此方程有两个不相等的实数根，则△=8²-4×k＞0，然后解不等式即可；
（2）先解方程组

y=-x+8 y= 12 x

可确定A点坐标为（2，6），B点坐标为（6，2），再确定C点坐标为（0，8），然后利用S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC和三角形面积公式计算即可．

解答：解：（1）由

y=-x+8 y= k x

得-x+8=

k

x

，
整理得x²-8x+k=0，
∵方程组有两组解，
∴△=8²-4×k＞0，
∴k＜16；

（2）解方程组

y=-x+8 y= 12 x

得

x=2 y=6

或

x=6 y=2

，
∴A点坐标为（2，6），B点坐标为（6，2），
把x=0代入y=-x+8得y=8，则C点坐标为（0，8），
∴S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC=

1

2

×8×6-

1

2

×8×2=16．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．