Question

（2012•盐城）如图所示，AC⊥AB，AB=2

3

，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α（0°＜α＜90°）．
（1）当α=18°时，求

BD

的长；
（2）当α=30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是

60°＜α＜90°

．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为2

3

，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；
（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

AC

BE

=

AD

BD

，继而求得答案；
（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围．

解答：解：（1）连接OD，
∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2

3

，
∴⊙O的半径为：

3

，
∴

BD

的长为：

36×π× 3

180

=

3

5

π；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°-α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴

AC

BE

=

AD

BD

，
∵AB=2

3

，α=30°，
∴BD=

1

2

AB=

3

，
∴AD=

AB2-BD2

=3，
∴

2

BE

=

3

3

，
∴BE=

2 3

3

；
经检验，BE=

2 3

3

是原分式方程的解．

（3）如图，当E与A重合时，
∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2

3

，AC=2，
∴tan∠ABC=

AC

AB

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及弧长公式等知识．此题综合性很强，难度较大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．