题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
（1）若AC=1，BC=
．求证：AD2+CF2=BE2；
（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在这样的Rt△ABC，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD=
AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；
（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．
试题解析：（1）证明：如图，连接FD．∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=
BC=
，CE=
AC=
，FD=
AC=
，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（
）2=
，CF2=CD2+FD2=（
）2+（
）2=
，BE2=BC2+CE2=（
）2+（
）2=
+
=
，∴AD2+CF2=BE2；
（2）解：设两直角边分别为a、b．∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=
a，CE=
b，FD=
AC=
a，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（
a）2=
a2+b2，CF2=CD2+FD2=（
a）2+（
b）2=
a2+
b2，BE2=BC2+CE2=a2+（
b）2=a2+
b2．∵AD2+CF2=BE2，∴
a2+b2+
a2+
b2=a2+
b2，整理得，a2=2b2，∴AD=
b，CF=
b，BE=
b，∴CF：AD：BE=1： 
．∵没有整数是
和
的倍数，∴不存在这样的Rt△ABC．
