Question

已知：△ABC中，AD为中线，∠BAD=60°，AB=10，BC=4，求AC的长．

Answer 1

解：分别过B、C作BF⊥AD于F，CE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=10，
sin∠BAF=，
∴BF=ABsin∠BAF=5．
cos∠BAF=，
∴AF=ABcos∠BAF=5．
BC=4，AD为中线，
∴BD=DC=2．
在Rt△BFD中，DF==1，
∵D为BC中点，∴BD=CD，
又CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ADC=∠BDF．
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DE=DF=1．
∴AE=5-2=3，CE=BF=5．
在Rt△AEC中，AC=，
又若△ABC'时，AE'=5+2=7，C'E'=5，
在Rt△AE'C'中，A'C'=，
∴AC的长为2或．
分析：由条件知，AC的位置分两种情况，一种为从点向AD作的垂线不三角形的内部，另一种是该线在三角形的外部，因而分别利用锐角三角函数的概念，勾股定理，全等三角形的性质来计算．
点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，也考查逻辑推理能力和运算能力．注意要分类讨论．