题目内容
如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
（1）
；（2）
；（3）①不存在；②当点M运动到（
，－6）时，四边形CBNA的面积最大，四边形CBNA面积的最大值为
．
【解析】
试题分析：（1）应用待定系数法，设交点式求解；
（2）根据相似三角形的性质求解即可；
（3）①由MN＝OB＝12列式，根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形结论；②求出面积关于x的二次函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可.
试题解析：（1）因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为：
.
又∵B(0,-12)? ∴
，解得a=
。
∴抛物线的解析式为
.
（2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝15－t.
又∵AC=12，∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB，∴
，即
，解得
.
∴当时，△APQ∽△AOB.
（3）易求直线AB的函数关系式为
．
设点M的横坐标为x，则M（x，
），N（x，
）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12
∴
，即x2－9x＋27＝0.
∵△＜0，∴此方程无实数根.
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+ S△ABN
∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝
·9·
＝－2x2＋12x＋54
∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝
.
∴当x＝
时，S△ABN最大值＝
，此时M（
，－6）
S四边形CBNA最大=．
考点：1.双动点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 相似三角形的性质；5. 平行四边形的判定；6. 一元二次方程根的判别式；7. 二次函数最值.
（2013•绍兴模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为（3，0）顶点P的坐标为（1，-4），以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（2012•浦江县模拟）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0）．
如图，抛物线与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，-4）．
如图，抛物线过x轴上两点A（9，0），C（-3，0），且与y轴交于点B（0，-12）．