Question

如图，已知平面直角坐标系中，点A(2,m)，B(-3,n)为两动点，其中m﹥1，连结，，作轴于点，轴于点．

（1）求证：mn=6；

（2）当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解:（1）点坐标分别为(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，

又，易证，∴,

∴,

∴mn=6．

（2）由（1）得，，又，，

即∴，

又,∴,又∵mn=6, ∴

∴m=6(),n=1

坐标为坐标为，易得抛物线解析式为．

（3）直线为，且与轴交于点，

假设存在直线交抛物线于两点，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如图所示，

则有PF:FQ=1:2，作轴于点，轴于点，

在抛物线上，设坐标为，

则FM=，易证，∴,

∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴

点坐标为,Q点在抛物线上，

，解得，

坐标为，坐标为，

易得直线为．

根据抛物线的对称性可得直线的另解为．