Question

(本题10分) 

已知一次函数y＝的图象与x轴交于点A．与轴交于点；二次函数图象与一次函数y＝的图象交于、两点，与轴交于、两点且的坐标为

（1）求二次函数的解析式；

（2）在轴上是否存在点P，使得△是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

 

（1）

（2）满足条件的点P有四个，分别是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)

解析:解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）, …………1分

由点的坐标为当x=1时,y=0

∴解得,…………3分

所以     …………4分

（2）存在；设P(a,0),

①P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,

由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，

∴．即,               …………5分

整理得:a2－4a+3=0,解得a=1或a=3,   此时所求P点坐标为(1,0)或(3,0). …………7分

②若B为直角顶点，则有PB²+BC²=PC²既有   1²+a²+4²+2²=3²+(4-a) ²

解得 a=0.5此时所求P点坐标为(0.5,0)    ……8分

③若C为直角顶点，则有PC²+BC²=PB²既有  3²+(4-a) ² +4²+2²=1²+a²

解得 a=5.5此时所求P点坐标为(5.5,0)    ……9分

综上所述，满足条件的点P有四个，分别是(1,0)(3,0)(0.5,0)(5.5,0)。……10分