Question

如图．平行四边形ABCD中，AD=2AB，M、N分别为AD、BC的中点，AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q．求证：
（1）四边形ABNM为菱形；
（2）四边形PNQM为矩形．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质AM∥BN，再利用已知得出ABNM是平行四边形，进而得出AB=AM，从而得出四边形是菱形；
（2）利用菱形性质及判定得出四边形MNCD是菱形，进而得出∠MNA+∠MND=90°，即可得出四边形PNQM为矩形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点M、N分别为AD、BC中点，
∴AM∥BN．AM=

1

2

AD，BN=

1

2

CD，AD=BC．（2分）
∴AM=BN，∴ABNM是平行四边形．（1分）
∵AD=2AB，∴AB=

1

2

AD，∴AB=AM．（1分）
∴四边形ABNM是菱形．（1分）

（2）∵四边形ABNM是菱形，
∴∠MPN=90°，∠BNA=∠MNA．（2分）
同理可得：四边形MNCD是菱形．
∠MQN=90°，∠MND=∠CND．（1分）
∴∠MNA+∠MND=90°．（1分）
∴四边形PNQM为矩形．（1分）

点评：此题主要考查了菱形的判定与矩形的判定，灵活地应用矩形与菱形的性质是解决问题的关键．