题目内容

a、b是实数，如果已知 $数学公式$ -3=0，且b⁴+b²-3=0，那么 $数学公式$ 的值是

A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

B
分析：解法一：假设 $\text{[math]}$ ，n=b²将 $\text{[math]}$ 转化为一元二次方程m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0转化为一元二次方程n²+n-3=0
利用公式法解这两个一元二次方程，得到m、n的值（不合题意，舍去）．
将 $\text{[math]}$ 转化为m²+n²，再进一步转化（m+n）²-2mn，用完全平方公式与平方差公式即可求解．
解法二：假设m=- $\text{[math]}$ ，n=b²，则根据已知与一元二次方程的根与系数的关系，那么m、n可以看作是方程x²+x-3=0的两个根
则m+n=-1，mn=-3
该式 $\text{[math]}$ 可变换为m²+n²=（m+n）²-2mn，至此问题得以解决．
解答：解法一：令 $\text{[math]}$ ，n=b²
则 $\text{[math]}$ ，转化为m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0转化为n²+n-3=0，
解方程m²-m-3=0得m= $\text{[math]}$ 或m= $\text{[math]}$ ，
由于 $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，
同理解方程n²+n-3=0得n= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
所以m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，
因而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =m²+n²=（m+n）²-2mn= $\text{[math]}$ =7；
故选B．
解法二：设m=- $\text{[math]}$ ，n=b²，则根据题意m、n可以看作是方程x²+x-3=0的两个根，
∴m+n=-1，mn=-3，
$\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ）²+（b²）²，
=m²+n²，
=（m+n）²-2mn，
=（-1）²-2×（-3），
=1+6，
=7．
故选B．
点评：这道题目确实很好，也很难，可谓是一道综合题，涉及到一元二次方程根与系数的关系求解、换元法、平方差公式、完全平方公式，即使做为大题出现也不为过．同学们一定要重视本题的解题思路．对于解法二具有一定层次的同学可以参考．