Question

【题目】已知点的坐标为，与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．

（1）求、、的值；

（2）如图1，点在轴上，若四边形是平行四边形，求点的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，动点在双曲线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点、的坐标．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）、坐标分别为、；、或、、

【解析】

(1) 过点作轴于，再证，即可求出、、的值；
(2) 设得到，即可求出点的坐标；

(3)由反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q(0,y)， P(x, )，再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．

解：（1）过点作轴于

∵为的中点，

∴DE=AE,

又∵∠PED=∠OEA, ∠DPE=∠AOE,

∴

∴

∴

∴即

∴

（2）∵四边形是平行四边形.

∴

∵

在轴上

∴设

则

∴

（3）∵反比例函数的表达式为，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q(0,y)，P(x, );
①AB为边时，如图①所示．若四边形ABPQ平行四边形，

则=0，解得x=1，此时P1(1,4)，Q1(0,6)；
如图②所示．

若四边形ABQP是平行四边形，则x=1.此时P2(1,4)，Q2(0,6);
②当AB为对角线时，如图③所示，

AP=BQ，且AP//BQ，
所以x=1，
所以P3(1,4)，Q3(0,2)，
故满足要求的点P，Q的坐标分别是、；、或、、

．