Question

如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
（3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过C作CH⊥AB于H．
在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，
∴四边形ADCH为矩形．
∴CH=AD=2，BH=AB-CD=3a-2a=a．
在Rt△BCH中，tanB=．
∵四边形AEFG是矩形，∴∠FGA=90°=∠FGB，且FG=x．
∴在Rt△FGB中，tanB=．
∴，即BG=x，∴AG=3a-0.5ax．
∵S_矩形AEFG=FG×AG，
∴y=x（3a-x）=-x²+3ax（0＜x≤2）． …

（2）∵S_梯形ABCD=（AB+CD）×AD=（3a+2a）×2=5a，
令2（-x²+3ax）=5a，解得x₁=1，x₂=5．
∵0＜x≤2，∴x=5（舍去）．
∴x=1，此时F为BC中点．
∴BF=BC=． …

（3）矩形AEFG不能成为正方形．
假设矩形AEFG能成为正方形，则有FG=AG．
∴x=3a-x．
∵∠ABC=60°，则tanB==，∴a=．
∴x==-3＞2．
又∵0＜x≤2，∴矩形BEFG不能成为正方形． …
分析：（1）过C作CH⊥AB于H．可证明四边形ADCH为矩形．设FG=x，根据三角函数得出AG=3a-x．再根据矩形AEFG的面积得出y与x之间的函数关系式可；
（2）由S_梯形ABCD的面积，令2（-x²+3ax）=5a，解得x，再由x的取值范围，舍去x=5，从而得出BF的长．
（3）矩形AEFG不能成为正方形．假设矩形AEFG能成为正方形，则有FG=AG．求出x，又0＜x≤2，则矩形BEFG不能成为正方形．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了直角梯形、正方形的判定和性质以及矩形的性质，综合性较强难度偏大．