Question

如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y²-（

1

2

y）²=x²-（8-

1

2

y）²或x²-（

1

2

y-4）²=y²-（

1

2

y）²，整理可得x²-（y-4）²=48，然后将原方程转为 X²-Y²=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整数解，继而可求得答案．

解答：解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．
设OB=y，AB=x，
∵∠AOM=60°，
∴OC=OB•cos6°=

1

2

y，
∴AC=OA-OC=8-

1

2

y或AC=OC-OA=

1

2

y-8，
∵BC²=OB²-OC²，BC²=AB²-AC²，
∴y²-（

1

2

y）²=x²-（8-

1

2

y）²或x²-（

1

2

y-4）²=y²-（

1

2

y）²，
∴x²-（y-4）²=48，
∵x与y是正整数，且y必为正整数，x-4为大于等于-4的整数，
将原方程转为 X²-Y²=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整数解，
∵（X+Y）和（X-Y）同奇同偶，
∴（X+Y）和（X-Y）同为偶数；
∴X²-Y²=48可能有几组正整数解：

X+Y=24 X-Y=2

，

X+Y=12 X-Y=4

，

X+Y=8 X-Y=6

，
解得：

X=13 Y=11

，

X=8 Y=4

，

X=7 Y=1

，
∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，
当x=7时，y-4=±1，y=3或y=5；
当x=8时，y-4=±4，y=8或y=0（舍去）；
当x=13时，y-4=±11，y=15或y=-7（舍去）；
∴共有4组解：

x=7 y=3

或

x=7 y=5

或

x=8 y=8

或

x=13 y=11

．
故选D．

点评：此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．