Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，EF垂直平分AD交AB于点E．
（1）证明：△DEF∽△ADC；
（2）若AE=25，AC=32，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，∵EF垂直平分AD交AB于点E，
∴∠DFE=∠C=90°，∠1=∠2．
又∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴∠DFE=∠C=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴△DEF∽△ADC；

（2）∵EF垂直平分AD交AB于点E，AE=25，
∴AE=DE=25，DF=AF=AD．
由（1）知，△DEF∽△ADC，
∴=，即=，
解得AD=40．即AD的长度是40．
分析：（1）根据垂直的定义得到∠DFE=90°，则∠DFE=∠C=90°；然后由角平分线线的定义得到∠2=∠3，由线段垂直平分线的性质得到∠1=∠2，则∠1=∠3；所以由“两角法”证得结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到AE=DE=25，DF=AF=AD．然后根据（1）中相似三角形的对应边成比例可以得到=，即=，由此易求AD的长度．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质．解题时，利用了线段垂直平分线的性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段；
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．